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수식

수식 입력하기

_includes/script.html에 아래 내용을 추가하면 수식이 입력된다.

<script type="text/javascript" async
    src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.5/latest.js?config=TeX-MML-AM_CHTML">
</script>
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({
    extensions: ["tex2jax.js"],
    jax: ["input/TeX", "output/HTML-CSS"],
    tex2jax: {
    inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"] ],
    displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ],
    processEscapes: true
    },
    "HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"] }
});
</script>

$y= ax+b$

그림

  • 글씨도 있다면 정렬은 어떻게 ?
  • 엔터를 많이쳐봤자 한 줄 떨어짐.
  • 그림 넣을 때
    • 사이즈 조절
    • 마진 주기
    • 정렬
    • 캡션달기
  • 이건 공통적으로 처리해야 할 듯.

with Zero Coupon Bonds

Starting Point

The present market value of an asset with a single cash flow in t is equal to the present value calculated through the forward equilibrium rate to which the observed market rate converge.

  • the forward equilibrium rate = UFR ; Ultimate Forward Rate

Correction is added

in the long run the curve reflecting the forward interest rates will reach asymptotically the UFR, the Correction tends to 0 when \(t \to\infty\).

  • Present market value = Present value applying the UFR \(\pm\)Correction.
  • Correction = \(\zeta_1\cdot(w_1) + \zeta_2\cdot(w_2)+ \dots +\zeta_N\cdot(w_N)\)
  • \(w_j\)is obtained through a Kernal function \(Kernel_j(t)\) that depends on the input’s maturity.
  • \[\small W(t, u_j) = e^{-UFR \cdot(t+u_j)} \cdot \{\alpha\cdot min(t,u_j)-0.5\cdot e^{-\alpha \cdot max(t,u_j)} \cdot (e^{\alpha \cdot min(t,u_j)} - e^{-\alpha \cdot min(t,u_j)}) \}\]
    • 이때 \(u_i\) : 가격이 알려진 무이표채권의 만기 ; \(i = \{1,2,...,N\}\)
    • 즉, \(W(t, u_j)\)는 t에 대한 함수로 표현되며 Wilson funtion 으로 알려짐.

처음 아이디어 Present market value = Present value applying the UFR \(\pm\)Correction 에서 Correction (보정항)을 수식으로 정리하면, 아래와 같다.

\[m_t=v(0,t) = e^{-UFR \small \cdot t} + \displaystyle\sum_{j=1}^N\zeta_j \cdot W(t , u_j)\]

시장에 이미 가격이 알려진 N개의 무이표채 가격을 이용하면 \(\zeta\)를 산출할 수 있으며, \(p(t)\)수식에 산출한 \(\zeta\)를 대입하면 만기 t에 대한 무이표채의 가격을 함수식으로 도출할 수 있음.

이 관계식으로 프로젝션 하고자 하는 만기구간에 대한 할인율을 도출할 수 있음.

1. \(\alpha\) alpha 산출

speed of convergence (수렴속도, \(\alpha\))는 참고 논문에서는 상수를 가정하였으나, K-ICS기준서에서는 최초 수렴시점(60y)의 선도금리와 장기목표금리 간의 차이가 1.0bp이내가 되도록 하는 최소값을 산출하여 적용하도록 함.

2. \(\zeta\) zeta 산출

\[m=v(t) = e^{-UFR \small \cdot t} + \displaystyle\sum_{j=1}^N\zeta_j \cdot W(t , u_j)\] \[\small W(t, u_j) = e^{-UFR \cdot(t+u_j)} \cdot \{\alpha\cdot min(t,u_j)-0.5\cdot e^{-\alpha \cdot max(t,u_j)} \cdot (e^{\alpha \cdot min(t,u_j)} - e^{-\alpha \cdot min(t,u_j)}) \}\]
  • \(N\): 최종만기(\(LLP\))까지의 현물이자율 갯수 ; 16개
  • \(m_i\): 무이표채권의 시장가격 ; \(i = \{1,2,...,N\}\)
  • \(u_i\) : 가격이 알려진 무이표채권의 만기 ; \(i = \{1,2,...,N\}\)
  • \(\alpha\) : 금리가 수렴하는 속도 계수 (speed of convergence)
  • \(W(t,u_j)\): 보정계수에 대한 만기별 가중치 ; Wilson function
  • \(\zeta_i\): 추정할 모수 ; \(i = \{1,2,...,N\}\) (현물이자율 추정치와 시장관측치를 일치시키는 보정계수 )

시장에 알려만 각 만기 \(u_i\) 에 따라 만기별 무이표채 가격의 식이 전개됨. 관측되는 만기 구간의 수가 \(N\)이고, 추정할 보정 계수 \(\zeta\)도 N개 이기 때문에 N x N 정방행렬의 형태로 구성됨.

\[M = \mu +W\cdot \zeta\]
  • \(M = \begin{bmatrix},m_1\\m_2 \\ \vdots \\m_j\\ \vdots \\m_N \end{bmatrix}\) , \(\mu = \begin{bmatrix}e^{-UFR\cdot t_1} \\e^{-UFR\cdot t_2} \\ \vdots\\e^{-UFR\cdot t_j}\\\vdots\\ e^{-UFR\cdot t_N} \end{bmatrix}\) , \(\zeta=\begin{bmatrix} \zeta_1 \\ \zeta_2 \\ \vdots \\ \zeta_j \\\vdots\\ \zeta_N \end{bmatrix}\),
  • \(W = \begin{bmatrix} W(t_1,t_1),W(t_1,t_2), ... , W(t_1,t_N) \\ W(t_2,t_1),W(t_2,t_2), ... , W(t_2,t_N) \\ \vdots\\ W(t_j,t_1),W(t_j,t_2), ... , W(t_j,t_N) \\\vdots\\ W(t_N,t_1),W(t_N,t_2), ... , W(t_N,t_N) \end{bmatrix}\)

벡터 \(\zeta\)는 관측치(\(M\))와 장기 선도이자율(\(\mu\))에 대한 차이에 벡터 \(W\)의 역함수를 곱하여 산출함.

\[\zeta = W^{-1}\cdot(P-\mu)\]

3. 만기별 할인율 산출

\(\zeta\)를 구하면, 수식 \(v(t) = e^{-UFR \small \cdot t} + \displaystyle\sum_{j=1}^N\zeta_j \cdot W(t , u_j)\)는 t 에 대한 함수로 표현되므로 모든 만기 t 에 대한 할인율을 산출할 수 있음.

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