무차익 DNS (AFNS) 모형

  • AFNS 모형은 연속시간 이론 모형 : 무차익거래 조정항을 제외하면 DNS 모형과 모형의 형태, 추정모수가 실질적으로 같음.
  • DNS 모형은 이산 시계열 모형

DNS, AFNS 모형의 구조

아래 3가지 미관측 잠재요인에 따라 실제 관측되는 만기별 이자율 기간구조를 설명함.

  • 수준 ; level
  • 기울기 ; slope
  • 곡도 ; curvature

모수

  this.initParas[0]  = this.lambda;
  this.initParas[1]  = this.thetaL;  
  this.initParas[2]  = this.thetaS;  
  this.initParas[3]  = this.thetaC;
  this.initParas[4]  = Math.max(this.kappaL, 1e-4);
  this.initParas[5]  = Math.max(this.kappaS, 1e-4);		
  this.initParas[6]  = Math.max(this.kappaC, 1e-4);		
  this.initParas[7]  = this.initSigma;
  this.initParas[8]  = 0.0;
  this.initParas[9]  = this.initSigma;
  this.initParas[10] = 0.0;            
  this.initParas[11] = 0.0;
  this.initParas[12] = this.initSigma;
  this.initParas[13] = this.epsilon * 1000;

상태공간( state - space )모형

미관측 잠재요인(수준, 기울기, 곡도 ) 으로 관측변수(금리)를 설명하는 모형.

금리모형 관측방정식(measurement eq.) 상태방정식(state eq.)
DNS (disc) \(y_t(\tau)= B(\tau)X_t + \epsilon_i(\tau)\) \(X_t - \mu_X = \phi_X(X_{t-1} - \mu_X) + \eta_{Xt}\)
AFNS (Cont) \(y_t(\tau)= B(\tau)X_t +\dfrac{A(\tau)}{\tau}+ \epsilon_i(\tau)\) \(dXt = K^P (\theta^P-X_t)dt + \sum dW_t^P\)
AFNS (disc) \(y_t(\tau)= B(\tau)X_t +\dfrac{A(\tau)}{\tau}+ \epsilon_i(\tau)\) \(X_t = (I - e^{-K^P\Delta t})\theta^P + e^{-K^P \Delta t}X_{t-1} + \eta_{Xt}\)
DNS (disc) 관측방정식 notation
  • \[\begin{bmatrix} y_t(\tau_1) \\ y_t(\tau_2) \\ \vdots \\ y_t(\tau_N) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & (\frac{1-e^{-\lambda \tau_1}}{\lambda \tau_1}) & (\frac{1-e^{-\lambda \tau_1}}{\lambda \tau_1} - e^{-\lambda \tau_1}) \\ 1 & (\frac{1-e^{-\lambda \tau_2}}{\lambda \tau_2}) & (\frac{1-e^{-\lambda \tau_2}}{\lambda \tau_2} - e^{-\lambda \tau_2}) \\ & \vdots & \\ 1 & (\frac{1-e^{-\lambda \tau_N}}{\lambda \tau_N}) & (\frac{1-e^{-\lambda \tau_N}}{\lambda \tau_N} - e^{-\lambda \tau_N}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} L_t \\ S_t \\ C_t \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \epsilon_i(\tau_1) \\ \epsilon_i(\tau_2) \\ \vdots \\ \epsilon_i(\tau_N) \end{bmatrix}\]
    • \(B(\tau)= \begin{bmatrix} 1 & (\frac{1-e^{-\lambda \tau_1}}{\lambda \tau_1}) & (\frac{1-e^{-\lambda \tau_1}}{\lambda \tau_1} - e^{-\lambda \tau_1}) \\ 1 & (\frac{1-e^{-\lambda \tau_2}}{\lambda \tau_2}) & (\frac{1-e^{-\lambda \tau_2}}{\lambda \tau_2} - e^{-\lambda \tau_2}) \\ & \vdots & \\ 1 & (\frac{1-e^{-\lambda \tau_N}}{\lambda \tau_N}) & (\frac{1-e^{-\lambda \tau_N}}{\lambda \tau_N} - e^{-\lambda \tau_N}) \end{bmatrix}\): 관측방정식의 계수 행렬, 요인과 수익률을 연결하는 요인 민감도 행렬임.
      • \(L_t\) 수준요인의 계수 : 1
      • \(S_t\) 기울기요인의 계수 : \((\frac{1-e^{-\lambda \tau_1}}{\lambda \tau_1})\)
      • \(C_t\) 곡도 요인의 계수 : \((\frac{1-e^{-\lambda \tau_1}}{\lambda \tau_1} - e^{-\lambda \tau_1})\)
    • \(X_t= \begin{bmatrix} L_t \\ S_t \\ C_t \end{bmatrix}\): 추정모수

    • \(\epsilon_i(\tau) \thicksim N(0_{N \times 1},H_{N \times N})\) : 확률 오차항

    • \(H = \begin{bmatrix} \sigma^2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma^2 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \sigma^2 \end{bmatrix}\) : 공분산 행렬
\[y_t(\tau)= B(\tau)X_t + \epsilon_i(\tau)\]
DNS (disc) 상태방정식 notation
  • \[\begin{bmatrix} L_t-\mu_L \\ S_t-\mu_S \\ C_t-\mu_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \phi_L & 0 & 0 \\ 0 & \phi_S & 0 \\ 0 & 0 &\phi_C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} L_{t-1}-\mu_L \\ S_{t-1}-\mu_S \\ C_{t-1}-\mu_C \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \eta_{L,t} \\ \eta_{S,t} \\ \eta_{C,t} \end{bmatrix}\]
    • \(\mu_X = \begin{bmatrix} \mu_L \\ \mu_S \\ \mu_C \end{bmatrix}\) : 3요인의 장기평균모수
    • \(\phi_X = \begin{bmatrix} \phi_L & 0 & 0 \\ 0 & \phi_S & 0 \\ 0&0&\phi_C \end{bmatrix}\) : 상태방정식 계수행렬 : 3요인의자기회귀모수
    • \(\eta_{Xt} = \begin{bmatrix} \eta_{L,t} \\ \eta_{S,t} \\ \eta_{C,t} \end{bmatrix}\) : 확률 오차항
    • \(\eta_t \thicksim N(0_{3 \times 1},Q_{ 3 \times 3 })\), \(Q = \begin{bmatrix} \sigma_L^2 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_S^2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_C^2 \end{bmatrix}\) : 공분산 행렬
\[X_t - \mu_X = \phi_X(X_{t-1} - \mu_X) + \eta_{Xt}\]
AFNS (conti.) notation

관측방정식

  • 무차익거래 조정항 : \(\dfrac{A(\tau)}{\tau}\) : 채권가격 결정 시 차익거래가 발생하지 않아야 한다는 이론적 제약을 도입하여 모형을 전개하면 도출되는 항. ( \(\tau , \lambda , \Sigma\) )으로 구할 수 있는 closed form.

상태방정식

  • Kappa : \(K^P = \begin{bmatrix} K_{11}^P & 0 & 0 \\ 0 & K_{22}^P& 0 \\ 0&0&K_{33}^P \end{bmatrix}\), 평균회귀속도 모수행렬

  • Theta : \(\theta^P=\begin{bmatrix} \theta_1^P \\ \theta_2^P \\ \theta_3^P \end{bmatrix}\) 장기평균모수 벡터

  • Sigma : \(\Sigma= \begin{bmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & 0 \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix}\) 공분산 행렬의 촐레스키 하방 삼각 행렬, 변동성 행렬

  • \(W_t^P\) 표준 위너프로세스

  • 관측방정식
    • \[y_t(\tau)= B(\tau)X_t +\dfrac{A(\tau)}{\tau}+ \epsilon_i(\tau)\]
  • 상태방정식
    • \[dXt = K^P (\theta^P-X_t)dt + \sum dW_t^P\]
AFNS (disc.) notation
  • 상태공간모형으로 표현된 AFNS 모형은 요인에 대해 linear(선형)이므로 칼만필터를 이용하여 모수를 추정함.
  • 관측방정식
    • \[y_t(\tau)= B(\tau)X_t +\dfrac{A(\tau)}{\tau}+ \epsilon_i(\tau)\]
  • 상태방정식
    • \[X_t = (I - e^{-K^P\Delta t})\theta^P + e^{-K^P \Delta t}X_{t-1} + \eta_{Xt}\]
  • AFNS 모형의 관측방정식은 요인에 대한 선형모형으로 표현되므로 칼만필터를 이용하여 모수를 추정함.

칼만필터

시간의 흐름에 따라 반복작업.

  • 상태방정식을 이용한 예측,
  • 관측방정식에 따른 예측오차의 보정을 반복적으로 수행하며,
  • 파라미터 추정치와 미관측요인 \(X_t\)의 추정치를 구함.
  1. 초기모수
    • \[X_{1|0} = \theta^P\]
    • \[V_{1|0} = (I - e^{-K^P \Delta t})^{-1} \cdot \Sigma_\eta\]
    • \[\psi_0 \equiv (I - e^{-K^P \Delta t}) \cdot \theta^P\]
    • \[\psi_1 \equiv e^{-K^P \Delta t}\]
  2. 칼만 필터에 의한 반복 계산 과정
    • 조건부 추정치
      • \[X_{t|t-1} = \psi_0 + \psi_1 \cdot X_{t-1|t-1}\]
      • \[V_{t|t-1} = \psi_1 \cdot V_{t-1|t-1} \cdot \psi_1^T + \Sigma_\eta\]
    • 조건부 예측오차

업데이트: